Зако́ны Ке́плера — семейство физических законов, открытых Иоганном Кеплером, описывающих движение планет вокруг Солнца. Первый закон Кеплера (Закон эллипсов) Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсy, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением , где c — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), a — большая полуось. Величина e называется эксцентриситетом эллипса. При c = 0 и e = 0 эллипс превращается в окружность. Доказательство первого закона Кеплера Второй закон Кеплера (Закон площадей) Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, заметает сектора равной площади. Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кепплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии бо́льшую линейную скорость, чем в афелии. Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу. Доказательство второго закона Кеплера Третий закон Кеплера (Гармонический закон) Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. , где T1 и T2 — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а a1 и a2 — длины больших полуосей их орбит. Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты: , где M – масса Солнца, а m1 и m2 – массы планет. Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды. Доказательство третьего закона Кеплера Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках A и B (перигелий и афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время. Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках A и B, запишем Теперь, когда мы нашли VB, мы можем найти секториальную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим -
Однако полная площадь эллипса равна (что равно πab, поскольку ). Время полного оборота, таким образом, равно Заметим, что если масса m не пренебрежимо мала по сравнению с M, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы M + m (см. приведённая масса). При этом массу M в последней формуле нужно заменить на M + m: Современный уточненный третий закон Кеплера, учитывая эксцентриситеты орбит, дает самую большую точность расчетов по небесной механике и астрофизике: где e1,e2 - эксцентриситеты орбит.
|