Физика. - Закон Био — Савара — Лапласа
Четверг, 08.12.2016, 01:06
Приветствую Вас Гость | RSS
Меню сайта
Наш опрос
Оцените мой сайт
Всего ответов: 1239

Закон Био́—Савара—Лапла́са — физический закон для определения модуля вектора магнитной индукции в любой точке магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током на некотором рассматриваемом участке. Был установлен экспериментально в 1820 году Био и Саваром. Лаплас проанализировал данное выражение и показал, что с его помощью путём интегрирования, в частности, можно вычислить магнитное поле движущегося точечного заряда, если считать движение одной заряженной частицы током.

Формулировка

Пусть постоянный ток \mathbf I течёт по контуру γ, находящемуся в вакууме, \mathbf{r}_0 — точка, в которой ищется поле, тогда индукция магнитного поля в этой точке выражается интегралом

\mathbf B = {\mu_0 \over 4\pi} \int\limits_\gamma \frac{I[d\mathbf{l};\mathbf{r} - \mathbf{r}_0]}{|\mathbf r - \mathbf{r}_0 |^3}

Направление d\mathbf B перпендикулярно d\mathbf l и \mathbf r, то есть перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление d\mathbf B, если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора d\mathbf B определяется выражением

dB = {\mu_0 \over 4\pi}\frac{I dl\sin\alpha}{r^2}

Векторный потенциал даётся интегралом

\mathbf A(\mathbf r_0) = {\mu_0 \over 4\pi} \int\limits_\gamma \frac{I d\mathbf l(\mathbf r)}{|\mathbf r - \mathbf r_0|}

Вывод из уравнений Максвелла

Закон Био — Савара — Лапласа может быть получен из уравнений Максвелла для стационарного поля. При этом производные по времени равны 0, так что уравнения для поля в вакууме примут вид

\operatorname{rot}\,\mathbf B = \frac{4\pi}{c} \mathbf j
\operatorname{div}\,\mathbf B = 0
\operatorname{rot}\,\mathbf E = 0
\operatorname{div}\,\mathbf E = 4\pi \rho

где \mathbf j — плотность тока в пространстве. При этом электрическое и магнитное поля оказываются независимыми. Воспользуемся векторным потенциалом для магнитного поля:

\mathbf B = \operatorname{rot}\,\mathbf A

Калибровочная инвариантность уравнений позволяет наложить на векторный потенциал одно дополнительное условие:

\operatorname{div}\,\mathbf A = 0

Раскрывая двойной ротор по формуле векторного анализа, получим для векторного потенциала уравнение типа уравнения Пуассона:

\Delta \mathbf A = - \frac{4\pi}{c}\mathbf j

Его частное решение даётся интегралом, аналогичным ньютонову потенциалу:

\mathbf A(\mathbf r_0) = \frac{1}{c} \int \frac{\mathbf j(\mathbf r)}{|\mathbf r - \mathbf r_0|} dV

Тогда магнитное поле определяется интегралом

\mathbf B = \operatorname{rot}\,\mathbf A = 
\frac{1}{c} \int \left[ \nabla \frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r_0|} ; \mathbf j(\mathbf r) \right] dV =
\frac{1}{c} \int\limits_\gamma \frac{[\mathbf j(\mathbf r);\mathbf{r} - \mathbf{r}_0]}{|\mathbf r - \mathbf{r}_0 |^3} dV

аналогичным по форме закону Био — Савара — Лапласа. Это соответствие можно сделать точным, если воспользоваться обобщёнными функциями и записать пространственную плотность тока, соответствующую витку с током в пустом пространстве. Переходя от интегрирования по всему пространству к повторному интегралу вдоль витка и по ортогональным ему плоскостям и учитывая, что

\mathbf j = I d\mathbf l

получим закон Био — Савара — Лапласа для поля витка с током.

Форма входа
Календарь новостей
«  Декабрь 2016  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031
Поиск
Друзья сайта
Graffiti Decorations(R) Studio (TM) Site Promoter
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0

Часть информации взята из Википедии-свободной энциклопедии.
Copyright MyCorp © 2016 Хостинг от uCoz