Физика. - Закон Био — Савара

	Понедельник, 29.05.2017, 01:05

	Главная Закон Био — Савара — Лапласа Регистрация Вход

Приветствую Вас Гость | RSS

Меню сайта

	Главная страница Информация о сайте Каталог файлов Каталог статей Форум Фотоальбомы Обратная связь Что такое физика? Список физических законов Ключевые статьи по разделам физики Законы сохранения Закон сохранения момента импульса

Наш опрос

	Оцените мой сайт Отлично Хорошо Неплохо Плохо Ужасно [ Результаты · Архив опросов ] Всего ответов: 1249

Закон Био́—Савара—Лапла́са — физический закон для определения модуля вектора магнитной индукции в любой точке магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током на некотором рассматриваемом участке. Был установлен экспериментально в 1820 году Био и Саваром. Лаплас проанализировал данное выражение и показал, что с его помощью путём интегрирования, в частности, можно вычислить магнитное поле движущегося точечного заряда, если считать движение одной заряженной частицы током.

Формулировка

Пусть постоянный ток $\mathbf I$ течёт по контуру $γ$ , находящемуся в вакууме, $\mathbf{r}_0$ — точка, в которой ищется поле, тогда индукция магнитного поля в этой точке выражается интегралом

$\mathbf B = {\mu_0 \over 4\pi} \int\limits_\gamma \frac{I[d\mathbf{l};\mathbf{r} - \mathbf{r}_0]}{|\mathbf r - \mathbf{r}_0 |^3}$

Направление $d\mathbf B$ перпендикулярно $d\mathbf l$ и $\mathbf r$ , то есть перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление $d\mathbf B$ , если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора $d\mathbf B$ определяется выражением

$dB = {\mu_0 \over 4\pi}\frac{I dl\sin\alpha}{r^2}$

Векторный потенциал даётся интегралом

$\mathbf A(\mathbf r_0) = {\mu_0 \over 4\pi} \int\limits_\gamma \frac{I d\mathbf l(\mathbf r)}{|\mathbf r - \mathbf r_0|}$

Вывод из уравнений Максвелла

Закон Био — Савара — Лапласа может быть получен из уравнений Максвелла для стационарного поля. При этом производные по времени равны 0, так что уравнения для поля в вакууме примут вид

$\operatorname{rot}\,\mathbf B = \frac{4\pi}{c} \mathbf j$

$\operatorname{div}\,\mathbf B = 0$

$\operatorname{rot}\,\mathbf E = 0$

$\operatorname{div}\,\mathbf E = 4\pi \rho$

где $\mathbf j$ — плотность тока в пространстве. При этом электрическое и магнитное поля оказываются независимыми. Воспользуемся векторным потенциалом для магнитного поля:

$\mathbf B = \operatorname{rot}\,\mathbf A$

Калибровочная инвариантность уравнений позволяет наложить на векторный потенциал одно дополнительное условие:

$\operatorname{div}\,\mathbf A = 0$

Раскрывая двойной ротор по формуле векторного анализа, получим для векторного потенциала уравнение типа уравнения Пуассона:

$\Delta \mathbf A = - \frac{4\pi}{c}\mathbf j$

Его частное решение даётся интегралом, аналогичным ньютонову потенциалу:

$\mathbf A(\mathbf r_0) = \frac{1}{c} \int \frac{\mathbf j(\mathbf r)}{|\mathbf r - \mathbf r_0|} dV$

Тогда магнитное поле определяется интегралом

$\mathbf B = \operatorname{rot}\,\mathbf A = \frac{1}{c} \int \left[ \nabla \frac{1}{|\mathbf r - \mathbf r_0|} ; \mathbf j(\mathbf r) \right] dV = \frac{1}{c} \int\limits_\gamma \frac{[\mathbf j(\mathbf r);\mathbf{r} - \mathbf{r}_0]}{|\mathbf r - \mathbf{r}_0 |^3} dV$

аналогичным по форме закону Био — Савара — Лапласа. Это соответствие можно сделать точным, если воспользоваться обобщёнными функциями и записать пространственную плотность тока, соответствующую витку с током в пустом пространстве. Переходя от интегрирования по всему пространству к повторному интегралу вдоль витка и по ортогональным ему плоскостям и учитывая, что

$\mathbf j = I d\mathbf l$

получим закон Био — Савара — Лапласа для поля витка с током.

Форма входа

Календарь новостей

Поиск

Друзья сайта

Graffiti Decorations(R) Studio (TM) Site Promoter

Статистика

	Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0